Алгебра логики (сценарий урока)

Елена Юрьевна ЦВЕТКОВА,
учитель информатики ГБОУ «Академическая гимназия №56» Санкт-Петербурга

Сценарий урока информатики по теме: «Алгебра логики. Упрощение логических выражений».

Введение. Основная образовательная задача урока по теме "Упрощение логических выражений" – научить школьника умению упрощать логические выражения, правильно определять порядок выполнения операций в логическом выражении, устанавливать смысловые связи между различными частями сложных логических выражений, умение выбирать лучший вариант решения.

Цель урока: научить учащихся упрощать логические выражения с помощью законов алгебры логики.

Задачи:

1. Образовательные:

• умение четко разделять изучаемый объект на составные части;
• умение правильно определять порядок выполнения операций в логическом выражении;
• умение устанавливать смысловые связи между различными частями сложных логических выражений;
•  умение выбирать лучший вариант решения.

2. Развивающие:

• развитие логического мышления, наблюдательности и сообразительности.

3. Воспитательные:

• привитие интереса к предмету, к приобретению новых знаний, умений и навыков.

Планируемый результат: приобретение навыков работы с логическими выражениями.

Тип урока: традиционный.

Формы работы: работа в классе, самостоятельная работа.

План проведения занятия

1. Вводная часть (объявление темы урока, цели и задач урока).
2. Изложение материала по упрощению логических выражений с помощью законов алгебры логики с демонстрацией примера с помощью визуальных средств (интерактивная доска).
3. Выдача индивидуальных заданий.
4. Контроль   работы учащихся по упрощению логических выражений, консультация по возникающим вопросам.
5. Подведение итогов работы учащихся.
6. Домашнее задание по теме "Упрощение логических выражений".

1. Вводная часть урока

В начале урока учитель объявляет тему урока, цели и задачи. Затем учитель предлагает вспомнить, что такое логика и где ученики уже встречались с элементами логики, задавая соответствующие вопросы.

Вопросы учителя и примерные ответы учеников:

1. Вопрос учителя: Что такое логика?

Ответ ученика:

Логика — это наука о формах и способах мышления.

2. Вопрос учителя: Что такое алгебра логики?

Ответ ученика:

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

3. Вопрос учителя: Что такое логическое высказывание?

Ответ ученика:

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно (1) оно или ложно (0).

4. Вопрос учителя: Что такое логическая формула?

Ответ ученика:

Логическая формула — это логические переменные (высказывания, обозначенные буквами), соединенные знаками логических операций.

5. Вопрос учителя: Какие логические операции вы знаете?

Ответ ученика:

Логические операции: отрицание (инверсия), конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

6. Вопрос учителя: Какие законы алгебры логики вы знаете?

Ответ ученика:

Основные законы алгебры логики:

Закон	Для   ИЛИ	Для   И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный	В отличие от алгебры переменных и функций, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре логики за скобки можно выносить как общие множители, так и общие слагаемые.
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания
Импликация
Эквиваленция
Исключающее ИЛИ

2. Изложение материала по упрощению логических выражений с помощью законов алгебры логики с демонстрацией примера с помощью визуальных средств (интерактивная доска)

Упрощение логических выражений

Приоритет выполнения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация. Если же порядок выполнения операций надо изменить, то применяют скобки. Операции эквиваленция и исключающее ИЛИ имеют самый низкий приоритет.

Формула называется тождественно истинной, или тавтологией, если она принимает значение истина при любых значениях входящих в нее переменных. Примером простейшей тавтологии является формула .

Формула называется тождественно ложной, или противоречием, если она принимает значение ложь при любых значениях входящих в нее переменных. Примером простейшего противоречия является формула.

Если две формулы одновременно, т.е. при одинаковых наборах входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильные преобразования логических формул служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Обозначим:

X – логическое высказывание,

– инверсия,

& – конъюнкция,

– дизъюнкция,

– импликация,

– эквиваленция.

Упростить логическое выражение:

1).

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций:

Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий множитель, затем операцией переменной с ее инверсией.

Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий множитель, затем операцией переменной с ее инверсией, затем операцией с константами.

Таким образом,

2)

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций. В выражении присутствуют два выражения в скобках, соединенных дизъюнкцией. Сначала преобразуем выражения в скобках.

В первой скобке воспользуемся распределительным законом, во второй скобке – раскроем инверсию по правилу де Моргана и избавимся от инверсии по закону двойного отрицания.

Воспользуемся операцией переменной с ее инверсией.

Таким образом,

3)

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций. В выражении присутствуют два выражения в скобках, соединенных конъюнкцией. Сначала преобразуем выражения в скобках.

Раскроем инверсию по правилу де Моргана, избавимся от инверсии по закону двойного отрицания.

Воспользуемся переместительным законом и поменяем порядок логических сомножителей.

Воспользуемся законом склеивания

Воспользуемся распределительным законом, затем операцией переменной с ее инверсией, затем операцией с константами.

Таким образом,

4).

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.

В выражении присутствует импликация. Сначала преобразуем импликацию .

Воспользуемся правилом де Моргана, затем законом двойного отрицания, затем раскроем скобки.

Воспользуемся законом идемпотенции и перегруппируем логические слагаемые.

Воспользуемся распределительным законом и вынесем за скобки общий логический множитель.

Воспользуемся операцией с константами.

Таким образом,

5).

Рассмотрим 3 способа упрощения этого логического выражения.

1 способ.

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.

Воспользуемся распределительным законом и раскроем скобки, затем операцией переменной с ее инверсией и законом идемпотенции.

Воспользуемся распределительным законом и раскроем скобки, затем операцией переменной с ее инверсией.

Воспользуемся законом идемпотенции.

Таким образом,

2 способ.

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.

Воспользуемся законом склеивания

Воспользуемся операцией переменной с ее инверсией.

Таким образом,

3 способ.

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения.

Повторим второй сомножитель , что разрешено законом идемпотенции.

Сгруппируем два первых и два последних сомножителя.

Воспользуемся законом склеивания

Таким образом,

Вывод: используя разные законы алгебры логики, получили один и тот же результат.

6).

Рассмотрим 2 способа упрощения этого логического выражения.

1 способ.

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.

Воспользуемся распределительным законом и вынесем общий логический множитель за скобки.

Как видно, логическое выражение не очень-то и упростилось. Попробуем 2 способ.

2 способ.

Перепишем выражение с помощью более привычных операций умножения и сложения, определимся с порядком выполнения операций.

Введем вспомогательный логический сомножитель

Сгруппируем 1 и 4, 2 и 3 логические слагаемые. Вынесем общие логические множители за скобки.

Воспользуемся операцией с константами и операцией переменной с ее инверсией.

Таким образом,

Получили два логических выражения:

Теперь построим таблицы истинности и посмотрим, правильно ли упрощено логическое выражение

X	Y	Z
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	1	1

X	Y	Z
0	0	0	1	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	0	1

X	Y	Z
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	1
1	1	0	0	0	0
1	1	1	0	1	1

X	Y	Z
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1

Как видно из сравнения таблиц истинности формулы являются равносильными.

Вывод: используя разные законы алгебры логики, получили один и тот же результат, записанный разными способами.

3. Выдача индивидуальных заданий

После изложения материала по упрощению логических выражений с демонстрацией примера с помощью интерактивной доски учащимся выдаются следующие материалы для выполнения задания:

• материалы по законам алгебры логики;
• задания с логическими выражениями.

В процессе выполнения задания преподаватель осуществляет контроль поэтапной работы учащихся по упрощению логических выражений и консультацию по возникающим вопросам.

Задание: Упрощение логических выражений

Вариант №1

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно высказывание:

Вариант №2

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно высказывание:

Домашнее задание по теме "Упрощение логических выражений".

Ответы

№	1 вариант	2 вариант	Домашнее задание
1
2	0
3		1	0
4	А	А	1
5	A=true, B=true, C=false	B=true, C=false, A – любое

Хронометраж урока (2 ак. часа):

Используемая литература

1. А.Г.Гейн. Материалы курса «Математические основы информатики»: лекции 5-8. – М.:Педагогический университет «Первое сентября», 2008. – 116с.
2. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. – 3-е изд., испр. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 387 с.
3. Информатика : Учеб. Пособие для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.З.Шауцукова. – 2-е изд., дораб. – М.:Просвещение, 2012. – 416с.
4. Конспекты уроков информатики в 9-11 классах: практикум по программированию / авт.-сост. А.А.Чернов. – Волгоград: Учитель, 2012. – 235с.
5. Фалина И.Н., Богомолова Т.С., Большакова Е.А., Гущин И.С., Шухардина В.А. Алгоритмизация и программирование.–М.:КУДИЦ-ПРЕСС, 2010. – 276с.
6. Под редакцией Вовк Е.Т. Информатика: пособие для подготовки к ЕГЭ. – М.: КУДИЦ-ПРЕСС, 2013. – 304 с.
7. Лихтарников Л.М. Первое знакомство с математической логикой / Оформление А.Олексенко, С.Шапиро. – СПб.:Лань, 1997. – 112с.

Ждем вас - в сообществе

• 

• написать автору
• подписаться
• добавить в друзья

друзей

1

подписчиков

1