Разнообразные приёмы работы с уравнениями

 Работа на уроках по решению уравнений является одним из самых благоприятных способов осуществления обратной связи, поскольку при решении уравнений затрагиваются многие теоретические и практические знания, умения и навыки учащихся, например:

•         знание названий компонентов арифметических действий;
•        умение находить неизвестный компонент через известные;
•        умение определять порядок действий (требуется при решении уравнений, содержащих больше одного арифметического действия);
•         вычислительные навыки учащихся.

Поэтому, при решении уравнений учитель весьма наглядно может установить имеющийся пробел в тех или иных знаниях или умениях учащихся и своевременно провести работу по его устранению.

Линия уравнений в курсе математики является прикладной частью алгебраической линии и развивается непрерывно начиная с 1-го класса. Как и в истории науки, уравнения в курсе возникают в связи с необходимостью нахождения неизвестных компонентов действий, которые обозначаются разными значками – «окошками», звёздочками, пустыми «мешками», буквами, но чаще всего – буквой х. Таким образом, на первых порах дети получают представления об уравнении как о равенстве, в котором неизвестное число обозначено буквой х (или какой-либо другой буквой).

В 1-ом классе дети знакомятся с терминами «уравнение», «корень уравнения», учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым и вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий к этому моменту обучения уже давно введены в речевую практику и используются для чтения и записи равенств и выражений. Однако правила нахождения неизвестных компонентов не заучивается детьми ни на данном этапе обучения, ни в дальнейшем. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. В результате изучения темы учащиеся должны научиться находить в равенствах компоненты, соответствующие целой величине (это либо сумма, либо уменьшаемое), и компоненты, соответствующие её частям (слагаемое, разность, вычитаемое). Тогда для решения любого уравнения достаточно применить уже известные учащимся правила:

 - Целое равно сумме частей.

 - Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Приведём примеры некоторых видов работы с уравнениями.

1. Первоначально дети решают уравнения способом подбора корней:

             + 2 = 8

 - Вставьте в «окошко пропущенное число (8 – это 6 и 2, поэтому в «окошко» надо записать число 6).

 - В рассмотренном равенстве есть неизвестный компонент действия. Такое равенство называется уравнением. Неизвестные компоненты можно обозначать  по-разному, но чаще всего используют латинскую букву х. Поэтому мы фактически решили уравнение х + 2 =8.

 - Итак, мы решили уравнение с помощью подбора корней (термины вводятся в речевую практику, но внимание на них не акцентируется).

2.                                   + Х  =                                         

 - Как вы думаете, что нужно сделать в этом задании? (Надо подобрать предметы в мешок-слагаемое так, чтобы получилось верное равенство.)

 - Возможно, не все ребята смогли найти ответ. Давайте поможем им. Есть такой «секрет», который, как «волшебный ключик», поможет решить любое уравнение. Надо только догадаться, какое действие с мешками надо сделать, чтобы найти х. (Вычитание.) Почему? (х – часть суммы.)

 - Зачеркнём в сумме известную часть. Какие фигурки остались? (Белый треугольник и чёрный квадрат). Удобно так искать неизвестное слагаемое? (Да). Какое правило нам в этом помогло? (Чтобы найти неизвестную часть, надо из целого вычесть известную часть).

3.  – Решим уравнение:

ПОЛ + Х = ПОЛКА

Х = ПОЛКА – ПОЛ

Х = КА

 - «ПОЛКА» - целое, известная часть – «ПОЛ». Чтобы найти неизвестную часть, надо из целого вычесть известную часть. Из слова «ПОЛКА» вычитаем слово «ПОЛ», получаем «КА». Пишем: Х равен «КА».

4. Составление и решение уравнений по числовому лучу.

5. Составление уравнений для решения наглядной задачи. Например:

(на рисунке) на одной чаше весов лежат гири весом 5кг и 2 кг, другая чаша уравновешена гирями 1 кг и гирей неизвестной массы. Составляется и решается уравнение:

5 + 2 = Х + 1

7 = Х + 1

Х = 7 – 1

Х = 6

На последующих уроках учащиеся подводят итог изучения темы, давая запись решения указанных уравнений в обобщённом виде:

 - Если х + а = b, то х = b – а

 - Если а +х = b, то х = b – а.

Во 2-ом классе продолжается работа над решением уравнений изученных видов, здесь усложняется лишь арифметический материал (нумерация в пределах 1000), а также появляются новые виды уравнений, связанных с действиями умножения и деления: а·х = b,

а : х = b, х : а = b.

Решение уравнений этого вида происходит на основе соотнесения компонентов арифметических действий со сторонами прямоугольника и его площадью:

а) Х · 2 = 16

         Х

                       2

 

 

Х = 16 : 2

Х = 8

 - Что неизвестно в этом уравнении? (сторона)

 - Что надо сделать, чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника? (площадь разделить на известную сторону).

б) Х : 7 = 2

           7

                           2

 

 - Что неизвестно в этом уравнении? (площадь)

 - Что надо сделать, чтобы найти площадь? (надо перемножить стороны).

Х = 7 · 2

Х = 14

В 3-ем классе у учащихся формируется представление об уравнении как предложении с переменной, вводится в речевую практику понятие корня уравнения, систематизируются изученные виды уравнений, рассматривается их связь с количественным описанием реальных событий. Учащиеся знакомятся с составными уравнениями, сводящимися к цепочке простых, учатся строить алгоритм их решения.

Решение составных уравнений помогает довести до автоматизированного уровня навык нахождения неизвестных компонентов арифметических действий, здесь отрабатываются вычислительные навыки, тренируются способности к определению порядка действий в выражениях, комментированию действий по алгоритмам. Всё это говорит о высокой дидактической ценности данной темы. В 4-ом классе все вышеуазанные навыки закрепляются. Приведём примеры некоторых видов работы с уравнениями.

1. Решить уравнение с комментированием по компонентам действий и сделать проверку:

3600 : (18 – х) – 120 = 280

 - Находим последнее действие (вычитание). Значит, переменная находится в уменьшаемом. Правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

3600 : (18 – х) = 280 + 120

 - Упростим правую часть: 280 + 120 = 400

3600 : (18 – х) = 400

 - Находим последнее действие (деление). Значит, переменная находится в делителе. Правило: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

18 – х = 3600 : 400

 - Упрощаем правую часть: 3600 : 400 = 9

18 – х = 9

 - Переменная является вычитаемым. Правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

х = 18 – 9

х = 9

 - Выполняю проверку:

3600 : (18 – 9) – 120 = 280

 - Левая часть равна правой, значит, уравнение решено верно.

2. Игра «Кто какое число задумал?»

1) Кот Матроскин задумал число, прибавил его к числу 26, сумму умножил на 5 и из полученного произведения вычел 42. В результате получилось 138.

(х + 26) · 5 – 42 = 138

2) Дядя Фёдор разделил 250 на задуманное число, вычел из частного 24 и результат умножил на 2. Получилось 52.

(250 : х – 24) · 2 = 52

3. Составить уравнение, решить, сделать проверку:

1) из какого числа надо вычесть сумму чисел 430 и 165, чтобы получилось 789?

2) во сколько раз надо уменьшить 960, чтобы получилось 16?

3) Сколько раз надо взять слагаемым число 9, чтобы получить 87030?

4) какое число содержится 7 раз в числе 60935?

4. Подбери корни уравнений и сделай проверку:

1) х + х = 36

2) 60 = х + х + х

3) х + х = х +5

4) 15 · х = 15 : х

5) х + х = х · х

6) х · 10 = х : 10

7) х · х – 25 = 0

8) х · х + 1 = 0

9) (х – х) · 4 = 0

5. Составление уравнений для решения задачи. Например:

Периметр прямоугольника равен 80см, а его длина – 24 см. Найти ширину прямоугольника.

Подставим известные величины в формулу

Р = (а + b) · 2

(24 + х) ·2 = 80

Используемая литература:

1.         Л. Г. Петерсон. Математика 1 класс. Методические рекомендации (Москва, Ювента, 2005).
2.         Л. Г. Петерсон. Математика 2 класс. Методические рекомендации (Москва, Ювента, 2003).
3.         Л. Г. Петерсон. Математика 3 класс. Методические рекомендации (Москва, Ювента, 2003).