Page 3 - И. В. Аксенов - Метод математической индукции (методическое пособие)

Введение.

В условиях непрекращающихся реформ образования учителю часто приходится
сталкиваться с тем, что существующие учебники недостаточно полно освещают или не
освещают вообще некоторые темы, с которыми в процессе обучения школьники могут
столкнуться. Одной из таких тем является тема «Метод математической индукции». В
большинстве учебников эта тема отсутствует. Между тем способ удобен для
доказательства теорем при изучении темы «Последовательности».

В классах, где изучение математики проводится на базовом уровне, эта тема может
преподаваться факультативно, в профильных же классах целесообразно ее излагать
непосредственно на уроках

Уроки 1-2. Лекция.

Тема: Метод математической индукции.

Цель: предоставить ученикам необходимый теоретический материал для решения задач,
содержащих утверждения, зависящие от натурального числа.

Метод принимается как аксиома: «Утверждение P(n), n  N справедливо если:

1) Утверждение P(n) справедливо при n  1.
2) Для всякого k из справедливости P(k) следует справедливость P(k 1) »

Рассмотрение утверждения при n  1 называется базисом.

Часть доказательства, в которой в предположении верности утверждения при n  k
(предположение индукции), доказывается верность утверждения при n  k 1 называется
индукционным шагом.

Основной частью лекции должен являться разбор примеров применения метода для
доказательства задач на суммирование, тождеств, неравенств, задач на делимость.

ПРИМЕР 1. Доказать, что число 7n1  82n1 делится на 19 при n  N .

Доказательство:

1) Базис индукции n  1

7n1  82n1  72  8  57 (делится на 19)

2) Шаг индукции: допустим, что 7k1  82k1 делится на 19, тогда
7(k1)1  82(k1)1  7k2  82k1  7  7k1  64 82k1 
7  7k1  7 82k1  57 82k1  7(7k1  82k1)  57 82k1 .
Первое слагаемое делится на 19 по предположению, второе - так как 57 делится на
19. Следовательно вся сумма делится на 19