Page 5 - И. В. Аксенов - Метод математической индукции (методическое пособие)

УРОК 3.

Цель урока – закрепление полученных теоретических сведений на практике.

На уроке желательно разобрать тождество, неравенство, пример на делимость, вывод
формулы n-ого члена для последовательности, заданной рекуррентно. В качестве
домашнего задания использовать примеры аналогичные разобранным. Рекомендуются
следующие задания.

ЗАДАНИЕ 1. Доказать неравенство для n  N . 2n  2n 1 при n  3 .

1) При n=3 неравенство верно.

2) Допустим 2k  2k 1  0 , тогда 2k1  2(k 1) 1  2 2k  2k  3 

2 2k  4k  2  2k 1  2(2k  2k 1)  (2k 1) .
Выражение положительно как сумма двух положительных слагаемых ч.т.д.

ЗАДАНИЕ 2. Докажите, что при n  N 5 23n2  33n1 кратно 19.

1) При n=1 5 2  32 19 кратно 19
2) Допустим 5 23k2  33k1 кратно 19.

5 23k1  33k2  85 23k2  27 33k1  85 23k2  833k1 1933k1 =
= 8(5 23k2  33k1) 1933k1 . Сумма кратна 19, так как каждое слагаемое кратно 19.

ЗАДАНИЕ 3. Доказать тождество

11  1  n .
15 59 (4n  3)(4n 1) 4n 1

Доказательство: обозначим левую часть тождества A(n) , а правую B(n)

1) A(1)  1 ; B(1)  1
55

2) Допустим A(k)  B(k)

A(k 1)  A(k)  1 ;
(4k 1)(4k  5)

B(k 1)  B(k)  k 1  k  (k 1)(4k 1)  k(4k  5)  1 .
4k  5 4k 1 (4k 1)(4k  5) (4k 1)(4k  5)

Таким образом A(k 1)  A(k)  B(k 1)  B(k) . Так как A(k)  B(k)

A(k 1)  B(k 1) ч.т.д.

ЗАДАНИЕ 4. Последовательность задана рекуррентно b1  2 ; bn1  n  2 bn . Вывести
формулу для bn и определить b124 . n

b1  2 ; b2  6 ; b3  12 ; b4  20 ; b5  30 ; b6  42 ; b7  56